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      首页 二重积分的计算1(修改版)

      二重积分的计算1(修改版).ppt

      二重积分的计算1(修改版)

      简介:本文档为《二重积分的计算1(修改版)ppt》,可适用于高等教育领域

      第二节二重积分的计算Ⅰ二重积分化为两次定积分来计算①二重积分存在则与分法无关。在直角坐标系中采用平行于ox轴和oy轴的分割网时d?=dxdy一.在直角坐标系下计算二重积分②图:(设f(x,y)≥)几?#25105;?#20041;:二重积分等于立体体积用横截面来计算立体体积﹡﹡应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的计算方法来计算曲顶柱体的体积oxxabA(x)?③以底面为一矩形a,bc,d的立体为例求其体积(应用上列公式)如图所示若能求出截面面积则立体体积问题就归结为运用上述公式。oaxbxABCDA(x)cdA?B?C?D?yz设以平面x=x垂直于x轴、平行于yoz平面的平面截立体得一曲边梯形截口ABCD。要求截口的面积A(x)我们将截口ABCD投影到yoz坐标平面?#31995;?#21040;与之完全相同的曲边梯形A?B?C?D?从而A(x)=SABCD=SA?B?C?D?然而曲边梯形A?B?C?D?的曲边D?C?的方程为z=f(x,y)(c≤y≤d)由于定积分几?#25105;?#20041;因而A(x)=SA?B?C?D?=考虑到x的?#25105;?#24615;对于?x∈ab均有A(x)=代入上列②中立体体积公式得到最后有由此?#24471;?#20197;底面是一矩形的立体体积的计算为例可导出结论:直角坐标系中二重积分的计算可化为两个单重积分(二次积分)来计算。例求解:另解:④当底面(在xoy平面上)区域不是矩形而是由两条曲线:y=?(x),y=?(x)两条直线:x=a,x=b所围成的曲边梯?#38382;?#20063;可得类似的结果。只是在矩形的情形下对任何固定的x=xy的变化是在同一区间c,d上而现在这一区间?(x),?(x)本身也与x有关(切口面积随x而变化!)。x型区域oaxbx?(x)?(x)yy=?(x)y=?(x)D?#35270;校?#23545;于?x?a,b有这时二重积分有⑤当底面(在xoy平面上)区域不是矩形而是由两条曲线:x=y(y),x=y(y)两条直线:y=c,x=dy型区域Dxycdx=y(y)x=y(y)类似有几种底面区域:⑴⑵⑶⑷ooooxxxxyyyyaby=?(x)y=?(x)caby=kxxy=cabdcx=?(y)x=?(y)d⑸⑹badcxyDDDD例计算积分D:⑴由y=xy=xx=所围成区域⑵由y=x和y=x所围成区域解⑴:①绘出区域D的图形:②确定积分限:x:,y:x,x③计算积分:oxyy=xy=x解⑵:①绘出区域D的图形:②求出两曲线的交点:解方程组得实数解?#24335;?#28857;为()、()③确定积分限:由于x由变到时y由下?#35282;?#32447;y=x变到?#25103;角?#32447;y=所以第一次积分的积分限为:下限x上限第二次积分的积分限为:下限上限yxxyy=xy=x(解⑵续)④计算积分:【作业】习题

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